Hệ phương trình đường tính thuần độc nhất vô nhị

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất bao gồm dạng $left{ egingathered a_11x_1 + a_12x_2 + ... + a_1nx_1 = 0 hfill \ a_12x_1 + a_22x_2 + ... + a_2nx_n = 0 hfill \ ... hfill \ a_m1x_1 + a_m2x_2 + ... + a_mnx_n = 0 hfill \ endgathered ight..$

Với $A = left( eginarray*20c a_11&a_12&...&a_1n \ a_21&a_22&...&a_2n \ ...&...&...&... \ a_m1&a_m2&...&a_mn endarray ight),X = left( eginarray*20c x_1 \ x_2 \ ... \ x_n endarray ight),O = left( eginarray*20c 0 \ 0 \ ... \ 0 endarray ight).$

Hệ phương trình đang cho rất có thể được viết bên dưới dạng ma trận $AX=O.$

Hệ phương trình đã cho rất có thể được viết bên dưới dạng véctơ $x_1A_1^c+x_2A_2^c+...+x_nA_n^c=O.$

Hạng của ma trận hệ số và hạng của ma trận hệ số không ngừng mở rộng của hệ thuần nhất bởi nhau do đó nó luôn có nghiệm. Hệ phương trình đường tính thuần nhất luôn có nghiệm $x_1=x_2=...=x_n=0,$ nghiệm này được call là nghiệm bình bình của hệ phương trình tuyến đường tính thuần nhất.Bạn đã xem: Hệ phương trình con đường tính thuần nhất

QAtP6n.png" alt="*">

Điều kiện đề nghị và đủ để hệ phương trình thuần nhất tất cả nghiệm không bình bình (vô số nghiệm)

Hệ phương trình thuần nhất n ẩn số bao gồm nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi hạng của ma trận hệ số nhỏ hơn số ẩn.

Bạn đang xem: Từ điển tiếng việt "tầm thường"

Hệ quả 1: Hệ phương trình thuần nhất bao gồm số phương trình nhỏ dại hơn số ẩn luôn luôn có nghiệm không tầm thường xuyên (vô số nghiệm)

Hệ quả 2: Hệ phương trình thuần nhất tất cả số phương trình thông qua số ẩn gồm nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi định thức của ma trận thông số bằng 0.

Hệ quả 3: Hệ phương trình thuần nhất gồm số phương trình bằng số ẩn chỉ bao gồm nghiệm đều đều (nghiệm duy nhất) khi và chỉ còn khi định thức của ma trận thông số khác 0.

Ví dụ 1:Tìm $a$ nhằm hệ phương trình $left{ eginarrayl (a + 5)x + 3y + (2a + 1)z = 0\ ax + (a - 1)y + 4z = 0\ (a + 5)x + (a + 2)y + 5z = 0 endarray ight.$ tất cả nghiệmkhông tầm thường.

Giải.Ta gồm yêu cầu bài bác toán tương đương với $left| eginarray*20c a + 5&3&2a + 1\ a&a - 1&4\ a + 5&a + 2&5 endarray ight| = 0 Leftrightarrow - 3a^2 - 3a = 0 Leftrightarrow a = 0;a = - 1.$

Ví dụ 2:Tìm $m$ nhằm hệ phương trình $left{ eginarrayl x_1 - mx_2 + x_3 - (m + 3)x_4 = 0\ 2x_1 + x_2 - 4x_3 + 7x_4 = 0\ mx_1 + 4x_2 + 2x_3 - mx_4 = 0\ x_1 - x_2 - mx_3 - 2(m^2 + 1)x_4 = 0 endarray ight.$ tất cả nghiệm khôngtầm thường.

Giải.Ta có yêu cầu bài bác toán tương đương với

Ta có biến hóa định thức:

Vậy

Ví dụ 3:Tìm $m$ nhằm hệ phương trình sau tất cả nghiệm duy nhất

$left{ eginarrayl 2x_1 + 3x_2 - 2x_3 = (m + 1)x_1 - (4 - m)x_2 + (m + 3)x_3\ x_1 + x_2 + 2x_3 = (m + 3)x_1 + (m - 1)x_2 + (m + 2)x_3\ - x_1 + 2x_2 - x_3 = (m + 2)x_1 - (2 - m)x_2 + mx_3 endarray ight..$

Giải.Hệ tương tự với: $left{ eginarrayl (m - 1)x_1 + (m - 7)x_2 + (m + 5)x_3 = 0\ (m + 2)x_1 + (m - 2)x_2 + mx_3 = 0\ (m + 3)x_1 + (m - 4)x_2 + (m + 1)x_3 = 0 endarray ight..$

Vậy $ycbt Leftrightarrow left| eginarray*20c m - 1&m - 7&m + 5\ m + 2&m - 2&m\ m + 3&m - 4&m + 1 endarray ight| e 0 Leftrightarrow 6 - 24m e 0 Leftrightarrow m e dfrac14.$

Cấu trúc tập phù hợp nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Tập $ker (A) = left X = left( eginarray*20c x_1 \ x_2 \ ... \ x_n endarray ight) in mathbbR^n ight$ là một không gian con của không khí véctơ $mathbbR^n$ cùng được call là tập hợp tất cả các nghiệm của hệ thuần nhất $AX=O$ hay không gian nghiệm của hệ thuần nhất.

Số chiều của không khí nghiệm của hệ thuần độc nhất vô nhị $dimleft( ker (A) ight)=n-r(A).$

Vậy $r(A)=r>>Hệ phương trình con đường tính tổng quát và khảo sát điều tra tổng quát lác hệ phương trình tuyến tính
Phép nhân ma trận và những tính chấtVí dụ 1:Cho hệ phương trình con đường tính 10 phương trình với 11 ẩn số. Biết rằng:

a) cỗ số $(1992,1993,...,2002)$ là một nghiệm của hệ phương trình;

b) lúc xoá đi cột vật dụng j vào ma trận thông số của hệ thì được một ma trận vuông tất cả định thức đúng bằng j (j = 1, 2, …, 11).

Hãy triển khai các yêu mong dưới đây:

i) Hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình con đường tính thuần nhất link với hệ sẽ cho tất cả bao nhiêu véctơ?

ii) Hãy search một nghiệm không tầm thường của hệ phương trình đường tính thuần nhất liên kết với hệ đã cho

iii) Hãy tìm tất cả các nghiệm của hệ phương trình sẽ cho.

Giải.Xét ma trận $A=(a_ij)_10 imes 11.$ Hệ phương trình đã cho rằng $AX=B.$

Ta gồm $r(A) leqslant min left 10,11 ight = 10$ với theo mang thiết b) thì $D_12...10^12...10=11 e 0Rightarrow r(A)=10.$ cho nên hệ phương trình thuần duy nhất $AX=O$ có hệ nghiệm cơ phiên bản chỉ có một véctơ $P_1=(a_1,a_2,...,a_11).$ còn mặt khác theo giả thiết a) bộ số $(1992,1993,...,2002)$ là một trong nghiệm riêng biệt của hệ phương trình $AX=B.$ cho nên mọi nghiệm của hệ phương trình $AX=B$ bao gồm dạng $(x_1,x_2,...,x_11)=(1992,1993,...,2002)+(a_1,a_2,...,a_11)t,tin mathbbR.$

Gọi $C$ là ma trận nhận được từ ma trận $A$ bằng phương pháp thêm chiếc thứ $i$ của ma trận $A$ vào ngay bên trên dòng thứ nhất của ma trận $A.$

Ta tất cả $C = left( eginarray*20c a_i1&a_i2&...&a_i11 \ a_11&a_12&...&a_111 \ a_21&a_22&...&a_211 \ ...&...&...&... \ a_101&a_102&...&a_1011 endarray ight).$

Khai triển định thức ma trận $C$ theo dòng đầu tiên và khai thác giả thiết b) ta có:

$det (C)=1.a_i1-2.a_i2+3.a_i3+...-10.a_i10+11.a_i11.$

Mặt không giống $C$ gồm hai mẫu giống nhau bắt buộc $det (C)=0Leftrightarrow 1.a_i1-2.a_i2+3.a_i3+...-10.a_i10+11a_i11=0.$

Điều đó minh chứng $(1,-2,3,...,-10,11)$ là một trong những nghiệm của hệ phương trình thuần tuyệt nhất $AX=O.$

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $(x_1,x_2,...,x_11)=(1992,1993,...,2002)+(1,-2,...,11)t=(19992+t,1993-2t,...,2002+11t),tin mathbbR.$

*Chú ý ta sử dụng kiến thức và kỹ năng sau:

Xét nhì hệ phương trình $AX=B(1);AX=O(2)$ bao gồm $A=(a_ij)_m imes n,r(A)=r.$

+) $X_0$ là 1 trong những nghiệm riêng của (1);

+) $left P_1,P_2,...,P_n-r ight$ là một hệ nghiệm cơ phiên bản của (2);

Khi kia nghiệm của (1) là $X=X_0+t_1P_1+t_2P_2+...+t_n-rP_n-r.$

Đề và đáp án cụ thể của đề thi chọn học sinh xuất sắc tỉnh môn Toán lớp 12 năm học 2020 - 2021 bảng A tỉnh nghệ an bạn đọc thiết lập về tạiđây

Combo 4 Khoá Luyện thi THPT non sông 2023 Môn Toán giành riêng cho teen 2K5

Fj
QXMYs7.png" alt="*">

Câu vấn đáp đúng nhất: Hệ phương trình thuần duy nhất n ẩn số gồm nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi hạng của ma trận hệ số bé dại hơn số ẩn.

Xem thêm: Real Time Bidding Là Gì? Lợi Ích Và Thách Thức Của Rtb! Lợi Ích Và Thách Thức Của Rtb Là Gì

Để nắm rõ hơn về nghiệm không bình bình mời các bạn tìm đọc về kỹ năng và kiến thức liên quan bên dưới đây.


4. Mối quan hệ giữa hệ phương trình tuyến đường tính bao quát và hệ phương trình tuyến tính thuần duy nhất liên kết


*

Hệ phương trình vẫn cho có thể được viết bên dưới dạng ma trận AX=O.AX=O.

Hệ phương trình đã cho có thể được viết bên dưới dạng véctơ x1Ac1+x2Ac2+...+xn
Acn=O.

Hạng của ma trận thông số và hạng của ma trận hệ số mở rộng của hệ thuần nhất bởi nhau vì vậy nó luôn có nghiệm. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất luôn có nghiệm x1=x2=...=xn=0, nghiệm này được gọi là nghiệm đều đều của hệ phương trình đường tính thuần nhất.

2. Điều kiện đề xuất và đủ nhằm hệ phương trình thuần nhất bao gồm nghiệm không đều đều (vô số nghiệm)

Hệ phương trình thuần tuyệt nhất ẩn số có nghiệm không tầm thường nếu còn chỉ khi hạng của ma trận hệ số nhỏ dại hơn ẩn số.

Hệ quả 1: Hệ phương trình thuần nhất gồm số phương trình nhỏ hơn ẩn số luôn luôn có nghiệm không tầm thường xuyên (giải pháp vô hạn)

Hệ quả 2: Hệ phương trình thuần nhất tất cả bao nhiêu phương trình ẩn số có nghiệm không tầm thường xuyên nếu và chỉ còn khi định thức của ma trận hệ số là 0.

Hệ trái 3: Một hệ phương trình thuần duy nhất với một trong những phương trình đều nhau chỉ bao gồm một nghiệm nhỏ tuổi (duy nhất) khi còn chỉ khi định thức của ma trận hệ số khác không.

3. Cấu trúc tập nghiệm của hệ phương trình tuyến đường tính thuần nhất

Tập ker(A) =

*

 € Rn AX = 0 là một không gian con của không khí vescto Rn với được điện thoại tư vấn là tập hợp toàn bộ các nghiệm của hệ thuần độc nhất AX = O hay không gian nghiệm của hệ thuần nhất.

 Mỗi cơ sở của Ker (A) được gọi là một trong hệ nghiệm cơ bạn dạng của hệ thuần nhất.

Số chiều của không khí nghiệm của hệ thuần tuyệt nhất dim (ker(A)) = n – r(A).

Vậy r(A) = r

4. Quan hệ giữa hệ phương trình con đường tính bao quát và hệ phương trình con đường tính thuần tốt nhất liên kết

Xét hệ phương trình tuyến tính tổng quát AX=BAX=B có nn ẩn số. Khi ấy hệ phương trình AX=OAX=O được điện thoại tư vấn là hệ thuần nhất link với hệ phương trình tổng quát đã cho.

+) Gọi X0X0 là một nghiệm riêng biệt của hệ phương trình tuyến tính tổng quát;

+) Gọi P1,P2,...,Pn−r(A)P1,P2,...,Pn−r(A) là một hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần độc nhất liên kết;

Khi đó nghiệm bao quát của hệ phương trình con đường tính tổng thể là X=X0+t1P1+t2P2+...+tn−r(A)Pn−r(A).

------------------------

Như vậy, chúng ta đã cùng nhau đi tìm kiếm hiểu chấm dứt về nghiệm không tầm thường, ước ao rằng trên đây là những kiến thức và kỹ năng giúp ích cho các bạn trong quy trình học tập và đạt tác dụng như ao ước muốn. 

Bài viết liên quan

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *